Podstawy teorii sterowania w problemach i zadaniach
Dostępność:
na wyczerpaniu
Wysyłka w:
3 dni
Darmowa dostawa od:
500zł
Zostań subskrybentem i odbierz rabat 7%
dodaj do przechowalni
Cena:
Cena netto:
79,04 zł
dodaj do przechowalni
-
zapytaj o produkt
-
poleć znajomemu
-
Zadzwoń i negocjuj cenę
+48 735 975 932
Opis
Autor: Piotr Grabowski
ISBN 978-83-66727-78-6
Format A4
Oprawa miękka
Liczba stron 420
Rok wydania 2022
Wydanie 1
Niniejszy skrypt powstał na podstawie notatek do wykładów i ćwiczeń audytoryjnych z teorii sterowania, teorii optymalizacji i wprowadzenia do sterowania układami o parametrach rozłożonych (podstaw sterowania w przestrzeniach Hilberta), które autor prowadził na różnych kierunkach kształcenia studiów podstawowych i doktoranckich. Notatki te były rozwijane i publikowane w latach 2005–2020 na stronie internetowej autora w eksperymentalnej technologii XML/MathML. Nacisk położony jest na ścisłość prezentacji tematyki. Pomimo to zakres materiału jest porównywalny ze zbiorami zadań i problemów znanych z podobnych publikacji zagranicznych. Monografia stanowi istotny wkład do metodologii rozwiązywania problemów i zadań z zakresu teorii sterownia i optymalizacji. Autor konsekwentnie stosuje zaawansowany aparat algebry liniowej i analizy funkcjonalnej oraz dba o ścisłość wywodów i różnorodność zagadnień.
1. Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Elementy algebry liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1. Odwzorowania liniowe i macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Zagadnienie własne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Kanoniczna reprezentacja jordanowska . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4. Rzeczywista postac Jordana macierzy rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . 11 ´
2.5. Rachunek funkcyjny dla macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Modele obiektów sterowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Elektryczny filtr RC–RC–RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Sterowany dwójnik elektryczny RLCGM . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Elektryczna linia transmisyjna RLCG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1. Równania elektrycznej linii transmisyjnej RLCG . . . . . . . . . . . . 26
3.3.2. Linia transmisyjna RLCG bez zniekształcen jako obiekt sterowania . . . . . 27 ´
3.3.3. Linia transmisyjna RC jako obiekt sterowania . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4. Zbiornik o przepływie ciagłym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5. Wahadło odwrócone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Rozwiazania liniowych równan stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ´
4.1. Analiza układu jednorodnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Wyznaczanie macierzy fundamentalnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1. Metoda reprezentacji jordanowskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.2. Metoda reprezentacji spektralnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.3. Przypadek rzeczywistej postaci jordanowskiej . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.4. Metoda baz Riesza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Analiza układu niejednorodnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1. Formuła wariacji stałych dla układu niejednorodnego . . . . . . . . . . . 41
4.3.2. Sterowalnosc i gramian sterowalno ´ sci . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ´
4.3.3. Wyznaczenie wyjscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ´
4.3.4. Obserwowalnos´c i gramian obserwowalnosci . . . . . . . . . . . . . . 50 ´
5. Transmitancja liniowego układu sterowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1. Opis układu sterowania w dziedzinie cz˛estotliwosci . . . . . . . . . . . . . 53 ´
5.2. Wyznaczanie rezolwenty i transmitancji. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3. Przykłady transmitancji układów o parametrach rozłozonych . . . . . . . . . 66 ˙
5.4. Zagadnienie realizacji transmitancji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4.1. Realizacja transmitancji skalarnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.2. Realizacja transmitancji macierzowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.3. Bezposrednie wyznaczenie minimalnej realizacji transmitancji macierzowej . . 75
6. Postac kanoniczna Kalmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ´
7. Zamkniete układy sterowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1. Równania stanu układów zamkni˛etych z regulatorami konwencjonalnymi . . . . 92
7.1.1. Przypadek regulatora PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1.2. Przypadek regulatora PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2. Twierdzenie o rozmieszczeniu widma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8. Stabilnosc układów liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ´
8.1. Własnosci asymptotyczne rozwi ˛aza ´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ´
8.2. Algebraiczne kryteria stabilnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 ´
8.2.1. Kryterium Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2.2. Kryterium Routha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.3. Obszar stabilnosci w przestrzeni parametrów. . . . . . . . . . . . . . . . 109 ´
8.3.1. Ci agła zaleznosc zer wielomianów od jego współczynników . . . . . . . . 109 ´
8.3.2. Wyznaczanie obszarów stabilnosci w przestrzeni parametrów . . . . . . . . 114 ´
8.4. Czestotliwosciowe kryteria stabilnosci układów liniowych . . . . . . . . . . 115 ´
8.4.1. Kryterium Michajłowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4.2. Kryterium Nyquista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4.3. Kryterium Nyquista w przypadku pary sprzezonej biegunów na osi urojonej . . 124 ˙
8.4.4. Modyfikacja kryterium Nyquista dla układu SISO z regulatorem P . . . . . . 127
8.4.5. Kryterium Nyquista dla układu SISO z opóznieniem . . . . . . . . . . . 129
8.5. Kryterium stabilnosci oparte na macierzowym równaniu Lapunowa. . . . . . . 135 ´
8.6. Stabilnosc, a sprowadzalnosc do zera za pomoc ˛a sterowa ´ n ograniczonych . . . . 146 ´
8.7. Stabilizowalnosc i wykrywalnosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 ´
9. Wprowadzenie do teorii układów dyskretnych. . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.1. Rozwiazywanie liniowych dyskretnych równan stanu . . . . . . . . . . . . 148 ´
9.2. Transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.3. Odwrotna transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.4. Analiza czestotliwosciowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 ´
9.5. Potegowa stabilnosc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ´
9.5.1. Kryterium algebraiczne potegowej stabilnosci . . . . . . . . . . . . . . 154 ´
9.5.2. Kryterium wykorzystujace dyskretne macierzowe równaniu Lapunowa . . . . 155
9.6. Zastosowanie do badania schematów róznicowych . . . . . . . . . . . . . 156 ˙
9.7. Dyskretne układy sterowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.7.1. Układ otwarty z impulsatorem idealnym . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.7.2. Układ otwarty z modulatorem amplitudy . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.7.3. Przykład analizy układu zamknietego . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.7.4. Układ z modulatorem szerokosci impulsu. . . . . . . . . . . . . . . . 168 ´
10. Podstawy teorii optymalizacji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.1. Problem minimalizacji funkcjonału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.2. Warunki wystarczajace: twierdzenie Weierstrassa . . . . . . . . . . . . . 171
10.3. Minimalizacja funkcjonałów w przestrzeniach Hilberta i Banacha . . . . . . . 172
10.3.1. Przypadek przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.3.2. Przypadek przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11. Przestrzenie i operatory ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.1. Typowe przestrzenie stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.2. Typowe operatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12. Minimalizacja funkcjonałów kwadratowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.1. Zadanie bez ograniczen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 ´
12.1.1. Dyskusja warunków optymalnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 ´
12.2. Uwagi o zadaniach z ograniczeniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.3. Przykład: problem lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
13. Warunki konieczne: twierdzenie Fermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
14. Optymalizacja parametryczna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
14.1. Wyznaczanie L2 (0,∞;R m) - normy wyjscia . . . . . . . . . . . . . . . . 197 ´
14.2. Przykłady optymalizacji parametrycznej normy energetycznej . . . . . . . . 197
14.2.1. Optymalizacja parametryczna układu z konwencjonalnym regulatorem P . . . 197
14.2.2. Optymalizacja parametryczna układu regulacji z regulatorem PI . . . . . . 201
15. Aproksymacja odpowiedzi impulsowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.1. Sformułowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.2. Warunki wystarczajace optymalnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 ´
15.3. Warunki konieczne optymalnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 ´
16. Stabilnosc nieliniowych układów sterowania . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 ´
17. Analiza absolutnej stabilnosci metod ˛a Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . 217 ´
17.1. Definicja i konstrukcja funkcjonału Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . 217
17.2. Funkcje dodatnio rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
17.3. Dyskusja rozwiazalnosci układu (17.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 ´
17.3.1. Przypadek układu kanonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
17.3.2. Przypadek oryginalnego układu rozwiazujacych równan Lurie . . . . . . . 224 ´
18. Optymalna estymata obszaru atrakcji zerowego punktu równowagi . . . . . . . . 234
18.1. Przykład konstrukcji kwadratowego funkcjonału Lapunowa . . . . . . . . . 235
18.2. Uogólnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
19. Stabilnosc nieliniowych dyskretnych układów sterowania. . . . . . . . . . ´ . . 244
19.1. Stabilnosc – fakty ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 ´
19.2. Forma kwadratowa jako funkcjonał Lapunowa dla dyskretnego układu Lurie . . 245
20. Warunki konieczne Karusha–Kuhna–Tuckera . . . . . . . . . . . . . . . . 251
20.1. Twierdzenie Karusha–Kuhna–Tuckera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
20.2. Twierdzenie o punkcie siodłowym funkcjonału Lagrange’a . . . . . . . . . 252
20.3. Zastosowanie warunków KKT w zadaniach minimalizacji . . . . . . . . . . 253
20.3.1. Zadanie 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
20.3.2. Zadanie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
20.3.3. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
20.4. Cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 ´
21. Elementy analizy wypukłej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
21.1. Podstawowe pojecia analizy wypukłej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
21.2. Relacja miedzy wypukłoscia a ciagłoscia. . . . . . . . . . . . . . . . . 268 ´
21.3. Minimalizacja funkcjonałów wypukłych . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
21.3.1. Subgradient – definicja i interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . . 268
21.3.2. Twierdzenie o minimalizacji funkcjonału wypukłego na zbiorze wypukłym . . 271
21.3.3. Wypukłe funkcjonały Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
21.3.4. Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
21.4. Charakteryzacje wypukłosci funkcjonałów rózniczkowalnych . . . . . . . . 275 ˙
22. Przykłady minimalizacji funcjonałów na przestrzeniach funkcyjnych . . . . . . . 277
22.1. Rozwiazanie alternatywne problemu (15.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 277
22.2. Problem brachistochrony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
22.3. Rozwiazanie problemu brachistochrony . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
22.3.1. Konweksyfikacja problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
22.3.2. Przestrzen stanu i zbiór dopuszczalny . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 ´
22.3.3. Nierównosc wariacyjna i równanie Eulera–Lagrange’a . . . . . . . . . . 281 ´
22.3.4. Rozwiazywanie równan Eulera–Lagrange’a metod ˛a Beltramiego . . . . . . 282 ´
22.4. Problem minimalnej powierzchni obrotowej . . . . . . . . . . . . . . . 285
22.5. Rozwiazanie problemu minimalnej powierzchni obrotowej . . . . . . . . . 286
22.5.1. Przestrzen stanu, własno ´ sci funkcjonału celu i zbioru dopuszczanego . . . . 286 ´
22.5.2. Warunki konieczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
22.5.3. Alternatywne warunki konieczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
22.5.4. Dyskusja równania (22.30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
22.5.5. Rozwiazanie Goldschmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
22.5.6. Warunki dostateczne optymalnosci oparte na twierdzeniu Weierstrassa. . . . 295 ´
23. Problem liniowo-kwadratowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
23.1. Sformułowanie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
23.2. Rozwiazanie problemu lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
23.3. Systemy stabilizowalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
24. Zbiór osiagalnosci przy ograniczeniach na sterowanie . . . . . . . . . . . . . 317 ´
24.1. Zbiór osiagalnosci i jego własnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 ´
24.2. Wyznaczanie zbioru osiagalnosci metod ˛a hiperpłaszczyzn podpieraj ˛acych . . . 318 ´
24.3. Zasada maksimum dla układu liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
24.4. Przypadek p = ∞ oraz zbiór Ω jest kul ˛a . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
24.4.1. Przypadek sterowania skalarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
24.4.2. Przypadek sterowania wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
25. Zasada maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
25.1. Sterowanie według kryterium minimalnego zuzycia paliwa . . . . . . . . . 332 ˙
25.2. Sterowanie minimalnoczasowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
25.3. Problem lq ze skonczonym horyzontem sterowania. . . . . . . . . . . . . 336 ´
25.3.1. Warunki dostateczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
25.3.2. Warunki konieczne – zastosowanie zasady maksimum . . . . . . . . . . 336
25.3.3. Synteza regulatora liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
25.3.4. Krótka dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
25.4. Dwuwymiarowe regulatory czasooptymalne . . . . . . . . . . . . . . . 342
26. Układy o parametrach rozłozonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 ˙
26.1. Modele dynamiki układów o parametrach rozłozonych – przykłady . . . . . . 350 ˙
26.2. Modele dynamiki układów o parametrach rozłozonych – podsumowanie . . . . 360 ˙
26.3. Półgrupy i operatory stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
26.4. Dopuszczalne operatory obserwacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
26.5. Dopuszczalne czynnikowe operatory sterowania . . . . . . . . . . . . . . 367
26.6. Reprezentacja stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
26.7. Reprezentacja wyjscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 ´
26.8. Wykładnicza stabilnosc przy liniowych sprzezeniach zwrotnych . . . . . . . 368 ˙
26.8.1. Operatorowy opis układu zamkni˛etego . . . . . . . . . . . . . . . . 369
26.8.2. Abstrakcyjny model rózniczkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 ˙
26.8.3. Perturbacje generatorów C0-półgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
26.9. Problem lq dla układów o parametrach rozłozonych . . . . . . . . . . . . 370 ˙
26.10. Przyrostowe kryterium koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
27. Dodatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
27.1. Dowód uwagi 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
27.2. Wyprowadzenie wzoru (15.10) metoda szeregu geometrycznego . . . . . . . 394
Bibliografia 397
Zapisz się do Newslettera