METODY ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ BEZPOŚREDNICH I ODWROTNYCH PRZEWODNICTWA CIEPŁA

W pracy przedstawiono rozwiązania zagadnień bezpośrednich i odwrotnych dla równania przewodnictwa ciepła. Opisano szereg przykładów numerycznych dla opracowanych algorytmów.

Analizowano stacjonarne przewodzenie ciepła (równanie Laplace’a) w obszarze prostokątnym z zastosowaniem wielomianów i węzłów Czebyszewa. W zagadnieniu odwrotnym poszukiwano nieznanego warunku brzegowego na jednym z brzegów prostokąta, korzystając z informacji o wartości temperatury w punktach wewnątrz obszaru umieszczonych w jednym rzędzie (brzegowe zagadnienie odwrotne), dwóch rzędach (zagadnienie quasi-Cauchy’ego) oraz dodatkowej informacji na temat gęstości strumienia ciepła na jednym z brzegów obszaru (zagadnienie Cauchy’ego). Zagadnienia tego typu są źle postawione w sensie Hadamarda i wymagają regularyzacji. Uzyskane rozwiązanie regularyzowano różnymi technikami, stosując regularyzację Tichonova, Tichonowa-Phillipsa oraz ich modyfikacje. Doboru parametru regularyzacji dokonano na podstawie kryterium Morozowa, minimum całki energii oraz L-krzywej.

W następnej części pracy zaprezentowano rozwiązanie niestacjonarnego zagadnienia odwrotnego z uwzględnieniem zależności współczynnika przewodzenia ciepła oraz ciepła właściwego od temperatury. Nieliniowy problem rozwiązano z zastosowaniem przekształcenia Kirchhoffa. Analizowano dwa warianty problemu odwrotnego. Poszukiwano temperatury na brzegu obszaru (wariant A) lub gęstości strumienia ciepła (wariant B, metoda Becka). Przedstawiono schemat obliczeniowy pozwalający na wyznaczenie dla każdego z wariantów temperatury, gęstości strumienia ciepła oraz współczynnika przejmowania ciepła. Analizowano również wpływ długości kroku czasowego, stanowiącego parametr regularyzacji, na uzyskiwane warunki brzegowe.

Opisane algorytmy zastosowano do wyznaczania warunków brzegowych dla walca nagrzewanego w piecu do obróbki cieplno-chemicznej. Po opisie zakresu badań eksperymentalnych w pracy zawarto szczegółową analizę błędów występujących w trakcie przeprowadzonych badań eksperymentalnych. Badania eksperymentalne wykonano pod kątem azotowania. Uzyskane wartości temperatury, gęstości strumienia ciepła oraz współczynnika przejmowania ciepła dla różnych procesów nagrzewania oraz różnych płaszczyzn na długości walca stanowią podstawę do optymalizacji procesów obróbki cieplno-chemicznej.

Spis treści
Streszczenie 7
Spis ważniejszych oznaczeń 9
1. Wstęp 11
2. Rozwiązanie stacjonarnych zagadnień bezpośrednich i odwrotnych przewodnictwa ciepła 19
2.1. Zagadnienie bezpośrednie 19
2.2. Brzegowe zagadnienie odwrotne i zagadnienie quasi-Cauchy’ego 22
2.3. Zagadnienie Cauchy’ego 28
2.4. Regularyzacja zagadnienia Cauchy’ego 33
2.5. Dobór parametru regularyzacji 35
2.6. Przykłady numeryczne 37
3. Rozwiązanie niestacjonarnych zagadnień bezpośrednich i odwrotnych
przewodnictwa ciepła 61
3.1. Zagadnienie bezpośrednie 61
3.2. Zagadnienie odwrotne 65
3.3. Współczynnik przejmowania ciepła 70
3.4. Wpływ zaburzenia danych pomiarowych na rozwiązanie zagadnienia odwrotnego 72
3.5. Przykłady numeryczne 73
3.6. Regularyzacja zagadnienia odwrotnego za pomocą kroku czasowego 80
4. Zakres badań eksperymentalnych 87
5. Analiza wpływu błędów pomiaru temperatury na rozwiązanie zagadnienia
odwrotnego na podstawie badań eksperymentalnych 91
6. Analiza nagrzewania walca w piecu do obróbki cieplno-chemicznej 97
6.1. Nagrzewanie w płaszczyźnie A3 97
6.2. Nagrzewanie w płaszczyznach A1–A4 102
7. Optymalizacja procesów obróbki cieplno-chemicznej 113
8. Podsumowanie 117
Dodatek 1. Wielomiany i węzły Czebyszewa 121
Dodatek 2. Regularyzacja zagadnienia Cauchy’ego funkcją temperatury i jej pierwszą pochodną 122
Dodatek 3. Krok czasowy jako parametr regularyzacji 125
Dodatek 4. Nagrzewanie w płaszczyznach A1–A4 dla procesów p3 oraz p4 126
Literatura 131