Optymalizacja w sterowaniu i podejmowaniu decyzji 2022

T. Zielińska
M. Żurawska

Skrypt poświęcony jest szeroko pojętym zagadnieniom optymalizacji, których znajomość jest niezbędna w praktyce inżynierskiej. Pierwszą część poświęcono sterowaniu optymalnemu dynamicznych układów sterowania. Omówiono zasadę minimum Pontriagina i pokazano jej uzasadnienie z wykorzystaniem rachunku wariacyjnego. Wykazano równoważność zasad Pontriagina i Hamiltona-Jakobiego-Bellmana. Omówiono warunki optymalności dla zadań z czasem swobodnym i zadań z zadanym czasem. Podano przykłady zadań z ich rozwiązaniami i zamieszczono przykłady do samodzielnego rozwiązania. Opisano też metodę rozwiązywania zadań optymalizacji obiektów liniowych z kwadratowym wskaźnikiem jakości.

W zakresie sterowania optymalizującego wskaźniki jakości niniejszy skrypt ma na uwadze głównie wielowymiarowe i liniowe układy sterowania o statycznych (stałych, niezależnych od czasu) macierzach stanu, wejść i wyjść, a także macierzach bezpośredniej transmisji sterowań. Odpowiednie ukształtowanie sterowań pozwala uzyskać spełnienie przyjętego kryterium optymalności. Sterowanie optymalne można realizować tylko w takich układach, na których zachowanie jesteśmy w stanie wpływać, a więc w układach stabilnych i sterowalnych. Na poziomie wykonawczym pożądane sterowania można zrealizować tylko wtedy, gdy odpowiednio dobrane regulatory zapewniają dobrą dokładność odtwarzania wartości zadanych. W praktyce często stosowane są liniowe regulatory PID ze względu na ich prostotę realizacji i stosunkowo dobrą jakość regulacji. W opracowaniu przedstawiono eksperymentalną metodę doboru nastaw regulatora PID, mając na uwadze sterowanie powszechnie stosowanymi silnikami elektrycznymi. Powtórzenie wybranych zagadnień z podstaw sterowania, łącznie z zagadnieniami stabilności i metodą doboru nastaw regulatora podane są w początkowej części pracy. Definicja stabilności w sensie Lapunowa i metody Lapunowa badania stabilności dotyczą zarówno układów liniowych, jak i nieliniowych. W nawiązaniu do wyznaczania sterowań optymalnych przedstawiona jest metoda programowania dynamicznego wywodząca się z zasady optymalności Bellmana. Podana jest także, wywodząca się z programowania dynamicznego, metoda wyznaczania optymalnych dróg w grafach i metoda optymalizacji dyskretnej dla dyskretnych zadań sterowania, łącznie z przykładami obliczeniowymi.

Końcowa część skryptu poświęcona jest zagadnieniom podejmowania decyzji optymalnych w warunkach niepewności. Przedstawiono szereg metod dotyczących wyboru postępowania. Podstawy teoretyczne ilustrowane są licznymi przykładami. Przekazane w tej części wiadomości są przydane zarówno do prowadzenia samodzielnej działalności zarządzającej, jak też mogą być wykorzystywane w planowaniu działań różnych urządzeń, np. robotów.

Spis treści
Stosowana notacja 8
Zakres tematyczny 9
1 Powtórzenie 13
1.1. Sterowanie, regulacja, transmitancja 13
1.2. Równania stanu 15
1.3. Eksperymentalny dobór nastaw regulatora PID 16
1.3.1. Cechy regulatora PID 16
1.3.2. Praktyczny dobór nastaw wg interpretacji metody Zieglera-
Nicholsa 19
2 Stabilność w sensie Lapunowa. Druga metoda Lapunowa 21
2.1. Stabilność w sensie Lapunowa 22
2.2. Badanie stabilności metodą Lapunowa 24
2.3. Druga metoda Lapunowa 25
2.4. Przykład 26
2.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania 27
3 Sterowanie optymalne 29
3.1. Wprowadzenie 29
3.2. Zadania sterowania 31
3.3. Postawienie zadania. Podejście wariacyjne 36
4 Zasada minimum Pontriagina 39
4.1. Wprowadzenie 39
4.2. Sformułowanie zasady minimum Pontriagina 41
4.2.1. Definicje 41
4.2.2. Zasada minimum Pontriagina dla wyróżnionych zadań ste-
rowania 43
4.3. Przykłady 47
4.4. Zadania do samodzielnego rozwiązania 67
5 Problemy liniowo-kwadratowe sterowania optymalnego 69
5.1. Przykład wprowadzający 69
5.2. Liniowo-kwadratowy problem sterowania optymalnego 71
5.2.1. Metoda z podwójnym różniczkowaniem 73
5.2.2. Metoda z wprowadzeniem dodatkowej zależności 74
5.3. Zadania do samodzielnego rozwiązania 77
6 Zasada optymalności Bellmana. Programowanie dynamiczne 78
6.1. Wprowadzenie 78
6.2. Równoważność zasad Hamiltona-Jakobiego-Bellmana i Pontriagina 82
6.3. Programowanie dynamiczne 84
6.4. Programowanie dynamiczne w zadaniach
sterowania optymalnego 86
6.4.1. Algorytm 87
6.5. Przykłady 88
6.6. Zadania do samodzielnego rozwiązania 94
7 Programowanie liniowe – metoda simpleks 96
7.1. Postać standardowa zadania programowania liniowego 97
7.2. Metoda simpleks 101
7.2.1. Kroki algorytmu simpleks 102
7.3. Programowanie całkowitoliczbowe – wprowadzenie 105
7.4. Przykłady 106
7.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania 114